3.1 量子位的概念（Qubits）

量子位定義

量子位（Quantum Bit，簡稱Qubit）與傳統計算中的比特（Bit）有著根本的不同。 傳統比特在任一時刻只能處於兩種明確的狀態之一：0或1。 而量子位則利用量子力學的原理，能夠同時處於0和1的狀態，這種狀態被稱為叠加態。

傳統的位元（Bit）

在傳統的數位計算中，基本的資料單位稱為位元（Bit），它是Binary Digit（二進制數字）的縮寫。 一個位元在任何時刻都只能代表一個狀態：0或1。 這種二進制的表示方式是現代電腦運算的基礎，每個位元的狀態可以透過不同的物理媒介來實現。 在大多數現代電腦中，這些位元是通過晶體管（Transistor）來實現的。

晶體管是一種半導體裝置，能夠進行開關控制，從而控制電流的流動。 在一個簡單的情況下，當晶體管導通（開啟）時，它可以代表位元的「1」狀態； 當晶體管截止（關閉）時，則代表位元的「0」狀態。

note

這裡的0與1，是人類給transistor兩種不同狀態加上去的概念， transistor內部並沒有一個可數的甚麼東西可以讓你去數它有零個還是一個。

0與1是一組抽象的概念，分別用來對應到transistor的關閉與開啟的兩種狀態。

通過成千上萬甚至數十億的晶體管的組合，現代電腦可以進行複雜的計算和資料處理。 舉例來說，如果你把8個transistor放在一起，這就組成了8 bits, 也就是1 byte。

上圖並不代表在你電腦任何地方的每一個bit背後就是只有一個transistor， 隨著位元載體的不同（SRAM, DRAM, ...），1個bit背後可能是更複雜的實作。 這些複雜的實作就讓EE（electrical engineering）的人去煩惱就好了， 對於CS（computer science）的人來說，需要了解的就是資料的最小單位是1 bit， 所有的運算都是基於bits衍生的。

note

許多人會說8 bits對應到的是0~255這兩百五十六個數字，這不太正確。

這8個bits，可以用來表示成256種不同的...東西。 更明確的說法是，這8個bits在電腦中的表示可能為00000000、00000001、 ...、11111111，總共256種。 那上圖中的01100111代表甚麼呢？答案是都可以，只要大家同意就好。

當我們想要討論數字的時候，01100111我們大家會把它當成：16進位的0x67、十進位的103。 當我們想要用它表示我們在螢幕上印出來的字母時，01100111會印出英文字母的小寫f。 當我們在討論intel指令集的時候，01100111會被當成一種prefix。

所以說，8 bits的資料可以在每一個應用中表現出256種不同的可能性（00000000、00000001、 ...、11111111）， 這每一種可能性所代表的意義，定義於應用的場景中。

量子的位元（Qubit）

量子位元，或稱為量子比特（Qubit），是量子計算中的基礎資訊單位。 與傳統計算的比特（Bit）只能表示0或1的二元狀態不同，量子位元採用量子力學的原理，能同時處於0和1的狀態，這種現象被稱為量子叠加。 這一特性使得量子位元能在同一時間攜帶比傳統比特更豐富的資訊。

量子位元的特殊性質源自於兩個核心概念：量子叠加（superposition）和量子糾纏（entanglement）。 量子叠加讓量子位元不僅能處於純粹的0或1狀態，還能存在於這兩種狀態的叠加中，彷彿同時存在於兩種狀態，但是如果我們去觀察（measure）那個量子，該量子的狀態就會坍縮（collapse）到0或1之中的一個狀態。 量子糾纏則是一種更為神秘的現象，兩個或多個量子位元可在物理上相距甚遠，卻能瞬間相互影響，一個量子位元的變化能即時影響另一個量子位元。

實現量子位元的方式有多種，如離子陷阱（trapped ions）、超導電路（superconducting circuits）、光子（photons）、自旋電子（spin electron）等。 每種實現方式都有其優勢和局限性，目前還沒有一種技術在所有方面明顯優於其他技術。 隨著量子計算研究的不斷深入，未來可能出現更高效和穩定的量子位元實現方式。

不同Qubit實現裡面的0與1，它們所對應的背後的物理現象是不相同的。 當你想要知道某台量子電腦的0背後是甚麼物理現象，首先你要問這台量子電腦是trapped ions做的還是甚麼的。 舉例來說，如果是trapped ions，0對應的就是離子的一個特定能級。

儘管不同量子電腦的0與1是不同的實作方式，我們在一般的量子計算的討論上，不會特別去區分它們。 圖形表示上我們會常常看到用一顆電子圓球加上一個方向箭頭，用箭頭向上或向下來表示0或1。 這種表示源自於自旋電子（spin electron）技術，會選用這種呈現方式是因為電子自旋簡單好理解又好畫圖。 疊加態的圖形表示也會有幾種不同的呈現方式，這個之後我們會介紹。下面先給大家看一個簡單的示範：

note

1. 有些時候你會看到箭頭向上表示0，箭頭向下表示1； 有些時候你會看到箭頭向上表示1，箭頭向下表示0。 這看作者的習慣。
2. 不是所有的量子系統都是用自旋電子的技術，不要被圖形表達誤導了。

量子態的表示

狄拉克表示法

在量子計算裡面， 0這個狀態我們會用$\ket{0}$表示， 1這個狀態我們會用$\ket{1}$表示。

從現在開始會用比較正式的表示。0與1指的是傳統電腦位元的兩個狀態；而$\ket{0}$與$\ket{1}$指的就是量子電腦中位元的狀態，我們不會再用0與1來表示量子位元了。

符號$\ket{\psi}$我們念作ket psi。

note

$\ket{0}$我們讀ket zero，$\ket{1}$我們讀ket one，$\ket{010}$我們讀ket zero one zero。

$\ket{0}$與$\ket{1}$所對應的物理現象，如前面所述，端看該量子電腦的qubit是用哪種技術實作的。不同量子電腦的實作，都會有兩種狀態可以對應到$\ket{0}$與$\ket{1}$。

疊加態量子表示法為$\ket{\psi} = c_0\ket{0}+c_1\ket{1}$，其中$|c_0|^2+|c_1|^2=1, c_0\in\Complex, c_1\in\Complex$。 $|c_0|^2$是測量後會是$\ket{0}$的機率，$|c_1|^2$是測量後會是$\ket{1}$的機率，於是$|c_0|^2+|c_1|^2=1$。 有些時候我們也會用矩陣的方式來表示 $\ket{\psi} = \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix}$。

$\ket{}$這種表示法我們稱呼它為狄拉克表示法，Dirac notation。狄拉克表示法中，量子態用$\ket{}$表示， 同時我們為這個量子態定義他的共轭转置（conjudgate transpose）為$\bra{}$。譬如：$\ket{\psi}$與$\bra{\psi}$。

用矩陣表示來看的話，$\ket{\psi} = \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix}$， 而$\bra{\psi} = \begin{bmatrix} c_0^* & c_1^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overline{c_0} & \overline{c_1} \end{bmatrix}$。

info

一個複數$c = a+bi$的共轭複數為$a-bi$，可以用$c^*$或$\overline{c}$表示。

info

共轭转置我們會用兩個符號$*T$來表示，其中$*$表示共轭，$T$表示转置。或者可以用一個dagger符號$\dagger$表示。

$\bra{\psi} = \ket{\psi}^{*T} = \ket{\psi}^\dagger$

$\begin{bmatrix} c_0^* & c_1^* \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix}}^{*T} = {\begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix}}^\dagger$

$\braket{\psi|\psi}$的意思是這兩個矩陣的內積（inner product）：

$$\begin{equation*} \begin{split} \braket{\psi|\psi} &= \begin{bmatrix} c_0^* & c_1^* \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix} \\ &= c_0^*c_0 + c_1^*c_1 \\ &= |c_0|^2 + |c_1|^2 \end{split} \end{equation*}$$

布洛赫球面表示法（Bloch Sphere Representation）

布洛赫球面表示法是一種用於描述量子位（qubit）態的幾何方式，它是由瑞士物理學家費利克斯·布洛赫（Felix Bloch）提出的。

在這種表示法中，一個量子位的純態可以被映射到一個半徑為1的球面上的點，這個球面就被稱為布洛赫球面（Bloch Sphere）。 布洛赫球面的北極和南極分別代表了量子位的基態$\ket{0}$和激發態$\ket{1}$，而球面上的其他點則表示量子位的叠加態（superposition states）。

給定一個$\ket{\psi} = c_0\ket{0}+c_1\ket{1}$，其中$c_0,c_1 \in \Complex$。布洛赫球面要做的事情就是把$\ket{\psi}$映射到球面上。 映射到球面的表達方式有兩種， 第一種是用角度$(\theta, \phi)$來表示， 第二種是用座標$(x,y,z)$表示。

布洛赫球面的主要優勢在於其直觀性，能夠清晰地展示量子位的態叠加和糾纏（entanglement）現象。 例如，當一個量子位處於叠加態時，其代表點會位於布洛赫球面的赤道上，這意味著它既不是完全的$\ket{0}$態也不是完全的$\ket{1}$態，而是這兩種態的某種組合。

布洛赫球面的公式推導

前面我們提到，一個量子狀態的表達方式為$\ket{\psi} = c_0\ket{0}+c_1\ket{1}$
這裡我們令$c_0 = x_0 + ix_1\in\Complex, c_1 = x_2 + ix_3\in\Complex$
已知$|c_0|^2+|c_1|^2=1$
$|c_0| = \sqrt{x_0^2 + x_1^2}$
$|c_1| = \sqrt{x_2^2 + x_3^2}$
那我們要怎麼從$(x_0, x_1, x_2, x_3)$找出一個球面的轉換呢? 下面提出兩種方法給您參考。

方法1

$c_0$與$c_1$是複數，可以用複數的極座標方式來表示$c_0 = r_0e^{i\phi_0}, c_1 = r_1e^{i\phi_1}$。因為$|c_0|^2+|c_1|^2=1$

$$\begin{equation*} \begin{split} 1 &= |c_0|^2+|c_1|^2 \\ &= |r_0e^{i\phi_0}|^2 + |r_1e^{i\phi_1}|^2 \\ &= r_0^2+r_1^2 \end{split} \end{equation*}$$

note

複習一下高中數學。

$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$

$z = a+bi = re^{i\theta} = r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$

$|z| = \sqrt{a^2+b^2} = |r|$

因為$r_0^2+r_1^2=1$，我們可以視為$r_0=\cos{\frac{\theta}{2}}, r_1=\sin{\frac{\theta}{2}}$，並且再定義$\phi = \phi_1-\phi_0$，這樣我們就可以重寫$\ket{\psi}$

$$\begin{equation*} \begin{split} \ket{\psi} &= c_0\ket{0} + c_1\ket{1} \\ &= r_0e^{i\phi_0}\ket{0} + r_1e^{i\phi_1}\ket{1} \\ &= \cos{\frac{\theta}{2}}e^{i\phi_0}\ket{0} + \sin{\frac{\theta}{2}}e^{i\phi_1}\ket{1} \\ &= e^{i\phi_0}\cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi_1}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1} \\ &= e^{i\phi_0}\cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi_0}e^{i\phi_1-i\phi_0}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1} \\ &= e^{i\phi_0} (\cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi_1-i\phi_0}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1}) \\ &= e^{i\phi_0} (\cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i(\phi_1-\phi_0)}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1}) \\ &= e^{i\phi_0} (\cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1}) \end{split} \end{equation*}$$

因為$e^{i\phi_0}$無法測量，所以可以忽略。於是就可以簡化成下面的式子

$$\ket{\psi} = \cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1}$$

note

在量子力學中，兩個僅相差一個全局相位因子的態向量被認為描述相同的物理狀態。 具體來說，如果有兩個態向量$\ket{\psi}$和$e^{i\phi}\ket{\psi}$， 其中$e^{i\phi}$是一個複數的全局相位因子，這兩個態向量描述的是同一個物理狀態。

那$\theta$與$\phi$如何算出來呢？

首先我們看到$\ket{0}$的係數表示機率：$P(\ket{0}) = \cos^2{\frac{\theta}{2}}$，同時，$P(\ket{0}) = |c_0|^2 = x_0^2+x_1^2$， 得到$\theta = 2*\arccos{(\sqrt{x_0^2+x_1^2})}$。

至於$\phi$，前面提到$\phi = \phi_1-\phi_0$。$\phi_1$與$\phi_0$怎麼來的呢？他們只是$c_1$與$c_0$在複數平面的角度而已，所以$\tan{\phi_1} = \frac{x_3}{x_2}, \tan{\phi_0} = \frac{x_1}{x_0}$。

info

$\ket{\psi} = \cos{\frac{\theta}{2}}\ket{0} + e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}\ket{1}$

$\theta = 2*\arccos{(\sqrt{x_0^2+x_1^2})}$

$\phi = \phi_1-\phi_0 = \arctan{\frac{x_3}{x_2}} - \arctan{\frac{x_1}{x_0}}$

方法2

$|c_0|^2+|c_1|^2 = (x_0^2 + x_1^2) + (x_2^2 + x_3^2) = 1$
這裡我們可以看出來，要表達$\ket{\psi}$我們會用到四個變數$x_0, x_1, x_2, x_3$，這四個變數滿足下面關係式

$$(x_0^2 + x_1^2) + (x_2^2 + x_3^2) = 1$$

四個變數就是一個四維空間，我們無法在紙上畫出四維空間來表達$\ket{\psi}$，我們最多只能在紙上畫出三維空間。 於是，我們嘗試將四維空間轉換為三維空間

$$\tag{3.1-1} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0+ix_1 \\ x_2+ix_3 \end{bmatrix} \longmapsto \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix}$$

這裡對應出來的$\ket{\psi} = (x, y, z)$就在我們上面提到的Bloch Sphere，證明如下：

我們驗證看看$\ket{\psi} = (x, y, z)$是不是一個單位球面（Unit Sphere）

$$\begin{equation*} \begin{split} |\ket{\psi}|^2 &= x^2+y^2+z^2 \\ &= [2(x_0x_2 + x_1x_3)]^2 + [2(x_0x_3 - x_1x_2)]^2 + [(x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2)]^2 \\ &= 4(x_0^2x_2^2 + 2x_0x_1x_2x_3 + x_1^2x_3^2) + 4(x_0^2x_3^2 - 2x_0x_1x_2x_3 + x_1^2x_2^2) + [(x_0^2 + x_1^2)^2 - 2(x_0^2 + x_1^2)(x_2^2 + x_3^2) + (x_2^2 + x_3^2)^2] \\ &= ... \\ &= (x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)^2 \\ &= 1^2 \\ &= 1 \end{split} \end{equation*}$$

從這個公式推導可以看出，$(x, y, z)$是一個半徑為1的球面，這就是我們上面說的Bloch Sphere

常見的量子態

首先我們先來看看$\ket{0}$。 $\ket{0}$可以表示成$(1+0i)\ket{0}+(0+0i)\ket{1}$，所以$(x_0,x_1,x_2,x_3) = (1, 0, 0, 0)$。 帶入公式(3.1-1)，

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

再來我們看看$\ket{1}$。 $\ket{1}$可以表示成$(0+0i)\ket{0}+(1+0i)\ket{1}$，所以$(x_0,x_1,x_2,x_3) = (0, 0, 1, 0)$。 帶入公式(3.1-1)，

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$

quantum state	(x, y, z)	bloch sphere
$\ket{0}$	(0, 0, 1)
$\ket{1}$	(0, 0, -1)

接著我們介紹$\ket{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})$與$\ket{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})$。 它們的$(x_0,x_1,x_2,x_3) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \pm\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$。 帶入公式(3.1-1)，

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \pm1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

quantum state	(x, y, z)	bloch sphere
$\ket{+}$	(1, 0, 0)
$\ket{-}$	(-1, 0, 0)

最後介紹$\ket{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+i\ket{1})$與$\ket{-i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-i\ket{1})$。 它們的$(x_0,x_1,x_2,x_3) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, \pm\frac{1}{\sqrt{2}})$。 帶入公式(3.1-1)，

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \pm1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

quantum state	(x, y, z)	bloch sphere
$\ket{i}$	(0, 1, 0)
$\ket{-i}$	(0, -1, 0)

info

x軸上面的是$\ket{+}$與$\ket{-}$。

y軸上面的是$\ket{i}$與$\ket{-i}$。

z軸上面的是$\ket{0}$與$\ket{1}$。

warning

矩陣表示法與bloch sphere並不是一對一的對應關係，畢竟我們是從四度空間$(x_0,x_1,x_2,x_3)$映射到三度空間$(x,y,z)$。

舉例來說，$\ket{\psi1} = \ket{0}, \ket{\psi2} = -\ket{0}$，這兩者的差別在於$x_0$等於1或是-1，代入(3.1-1)後，你會發現對應的$(x,y,z)$都是$(0,0,1)$。 雖然$\ket{\psi1}$與$\ket{\psi2}$的矩陣表示法不一樣，在量子力學中，我們視為一樣的。因為量子態的表達事實上是用Hilbert Space的equivalence class來表示的。 數學上的表示如下

$$\ket{\psi1} \sim \ket{\psi2} \iff \ket{\psi1} = c\ket{\psi2}, c \in \Complex$$

Hilbert Space後面會解釋。

從Bloch Sphere逆推回係數$x_0 \dots x_3$

給定一個$\ket{\psi}$，我們知道他的座標$(x, y, z)$，我們要怎麼找回$(x_0, x_1, x_2, x_3)$呢？

從上圖我們可以看到一個任意的$\ket{\psi}$，它的長度是1，它與z軸的夾角是$\theta$，它在xy平面上的投影長度為$\sin{\theta}$，投影與x軸的夾角是$\phi$， 所以我們可以知道

$$\tag{3.1-2} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sin{\theta}\cos{\phi} \\ sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta} \end{bmatrix}$$

加入公式(3.1-1)我們得到

$$\begin{bmatrix} sin{\theta}\cos{\phi} \\ sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(x_0x_2 + x_1x_3) \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) \end{bmatrix}$$

到了這裡，就是解以下的方程式

$$\begin{cases} 2(x_0x_2 + x_1x_3) = sin{\theta}\cos{\phi} \\ 2(x_0x_3 - x_1x_2) = sin{\theta}\sin{\phi} \\ (x_0^2 + x_1^2)-(x_2^2 + x_3^2) = \cos{\theta} \\ (x_0^2 + x_1^2) + (x_2^2 + x_3^2) = 1 \end{cases}$$

有天分的你，會解出來是

$$\tag{3.1-3} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta)} \\ \cos{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\beta)} \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta+\phi)} \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\beta+\phi)} \end{bmatrix}, \beta \in \R$$

你可以試著把(3.1-3)代入(3.1-1)，你就會得到 $\begin{bmatrix} sin{\theta}\cos{\phi} \\ sin{\theta}\sin{\phi} \\ \cos{\theta} \end{bmatrix}$，$\beta$會被削掉，就是這麼神奇。 裡面會用到三角函數的公式，這裡我推導x給大家看，y與z的推導就不寫了。

$$\begin{equation*} \begin{split} x &= 2(x_0x_2+x_1x_3) \\ &= 2(\cos{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta)} \cdot \sin{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta+\phi)} + \cos{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\beta)} \cdot \sin{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\beta+\phi)}) \\ &= 2\cos{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\frac{\theta}{2})}(\cos{(\beta)}cos{(\beta+\phi)}+\sin{(\beta)}\sin{(\beta+\phi)}) \\ &= \sin{(\theta)}\cos{(\beta+\phi-\beta)} \\ &= \sin{(\theta)}\cos{(\phi)} \end{split} \end{equation*}$$

info

$\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\sin{y}\cos{x}$

$\cos{(x-y)}=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}$

回到最開始$\ket{\psi}$的矩陣表達式。

$$\begin{equation*} \begin{split} \ket{\psi} &= \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_0+x_1i \\ x_2+x_3i \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (\cos{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta)})+(\cos{(\frac{\theta}{2})}i\sin{(\beta)})i \\ (\sin{(\frac{\theta}{2})}\cos{(\beta+\phi)})+(\sin{(\frac{\theta}{2})}\sin{(\beta+\phi)})i \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos{(\frac{\theta}{2})}(\cos{(\beta)}+i\sin{(\beta)}) \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}(\cos{(\beta+\phi)})+i\sin{(\beta+\phi)}) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos{(\frac{\theta}{2})}e^{i\beta} \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}e^{i(\beta+\phi)} \end{bmatrix} \\ &= e^{i\beta}\begin{bmatrix} \cos{(\frac{\theta}{2})} \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}e^{i\phi} \end{bmatrix} \\ &\sim \begin{bmatrix} \cos{(\frac{\theta}{2})} \\ \sin{(\frac{\theta}{2})}e^{i\phi} \end{bmatrix} \end{split} \end{equation*}$$

最後我們得到

$$\tag{3.1-4} \ket{\psi} = \cos{(\frac{\theta}{2})}\ket{0} + \sin{(\frac{\theta}{2})}e^{i\phi}\ket{1}$$

info

$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

這裡我們總結一下矩陣表達式與Bloch Sphere之間的轉換。 當我們想要從矩陣表達式$(x_0, x_1, x_2, x_3)$轉Bloch Sphere的時候，我們可以用(3.1-1)來得到$(x,y,z)$，同時也可以用(3.1-2)得到$\theta$與$\phi$。 當我們想要從Bloch Sphere轉回去的時候，我們可以用(3.1-4)得到矩陣表達式。

測量的影響與態的表示

叠加態

量子叠加原理介紹

叠加態的創建與操控

叠加態在量子計算中的應用

叠加態與概率幅度

糾纏態

量子糾纏的物理基礎

創建和測量糾纏態

糾纏態在量子資訊中的作用

糾纏與非定域性

基態和激發態

基態與激發態的定義

能級躍遷與量子操控

實現基態和激發態的技術

能態在量子計算中的應用